ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Теоретические сведения

В почти всех практических задачках тяжело либо даже нереально на сто процентов найти функцию рассредотачивания случайной величины. Время от времени в ней и нет необходимости. В таких случаях полное описание случайной величины с помощью закона рассредотачивания может быть заменено более грубым, но зато и поболее обычным указанием отдельных характеристик (числовых ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН черт) этого рассредотачивания.

Более необходимыми числовыми чертами случайной величины X являются математическое ожидание (среднее значение) тх и дисперсия σ2. Заместо тх употребляют обозначения M(X), E(X), а заместо σ2 - D(X).

Для дискретной случайной величины X математическое ожидание равно

(3.1)

Если X - непрерывная случайная величина с плотностью вероятности W1(x), то

(3.2)

Формулы для ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН дисперсии имеют вид

где - центрированная случайная величина, т. е. отклонение случайной величины X от ее математического ожидания.

Обобщением формул (3.1) – (3.4) являются выражения, определяющие математическое ожидание и дисперсию случайной функции (р(Х) случайной величины X:

где mj= MIj(X)] –математическое ожидание функции j(Х). Математическое ожидание определяет абсциссу центра масс ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН кривой рассредотачивания, а дисперсия – разброс случайной величины относительно ее математического ожидания. Рассеивание случайной величины нередко охарактеризовывают средним квадратичным отклонением («стандартом») σx, которое равно

Не считая математического ожидания в качестве черт положения случайной величины используются время от времени медиана и мода.

Медианой Me (по другому, срединным либо возможным значением) именуется такое значение ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН случайной величины X, при котором

Для непрерывной случайной величины X медиана находится из условия F1(Me)=1/2 либо

Для дискретных случайных величин медиана определяется разносторонне и фактически не употребляется.

Модой M (по другому, наивероятнейшим значением) именуется такое значение случайной величины X, для которого возможность P(X = M) либо плотность вероятности W1(M) имеют ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН наибольшее значение. Если максимум один, то рассредотачивание именуется одномодальным (унимодальным), а если несколько – многомодальным (полимодальным, мультимодальным),

При описании непрерывного рассредотачивания употребляют время от времени квантили. Квантилем, отвечающим данному уровню вероятности р, именуется такое значение x = хp, при котором функция рассредотачивания F1(x) воспринимает значение, равное р:

F1(xp) =p (3.11)

Общими ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН числовыми чертами случайной величины являются моменты, которые представляют собой неслучайные величины (числа), характеризующие случайную величину с какой-нибудь стороны. Соответствующая особенность их заключается в том, что моменты более низкого порядка несут внутри себя больше сведений о случайной величине, чем моменты более высочайшего порядка.

Моментом k-г ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНοпорядка случайной величины X относительно случайной точки а именуется математическое ожидание величины (X-a)k:

mk(a) = M(X - a)k. (3.12)

Момент, рассматриваемый относительно начала координат (а = О), именуется исходным, а относительно математического ожидания (а=тх) – центральным.

В неких случаях употребляются абсолютные и факториальные моменты, которые соответственно определяются формулами ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН:

где z[k]= z(z-l)(z-2)...(z-k+1).

Факториальные моменты полезны в 2-ух отношениях. С помощью их можно в более малогабаритном виде записать моменты неких дискретных рассредотачиваний (типа биномиального) и, не считая того, в задачках определенного класса, включающих дискретные случайные величины, нередко комфортно отыскивать исходные моменты mk, за ранее вычислив ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН факториальные.

Математическое ожидание (среднее значение), определяемое формулами (3.1) и (3.2), представляет собой исходный момент первого порядка. Для хоть какой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию. Абсолютные моменты четных порядков совпадают с обыкновенными моментами.

При решении практических задач более нередко ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН употребляются исходный момент первого порядка mi (математическое ожидание), исходный момент второго порядка т2 (средний квадрат случайной величины), центральный момент второго порядка μ2 (дисперсия), центральные моменты третьего и 4-ого порядков, также абсолютный центральный момент V1 первого порядка, именуемый средним арифметическим отклонением.

С центральным моментом третьего порядка μ3 связан коэффициент асимметрии γ1, характеризующий «скошенность» рассредотачивания, а ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН с центральным моментом 4-ого порядка μ4 – коэффициент эксцесса γ2, показывающий «крутость» рассредотачивания вероятностей.

Для симметричных относительно математического ожидания рассредотачиваний все моменты нечетного порядка (если они есть) равны нулю и асимметрия отсутствует. Эксцесс обычного рассредотачивания равен нулю. Если кривая плотности вероятности W1(x) имеет более острую и высшую верхушку по ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН сопоставлению с обычным рассредотачиванием w(x), то эксцесс положителен; если более низкую и пологую – отрицателен.


chislennost-sotrudnikov-rabotayushih-na-postoyannoj-osnove.html
chislennost-uchashihsya-sela-tyurino-po-rasskazam-starozhilov-ishodit-ot-familii-ribopromishlennika-tyurina-kotorij.html
chislennost-vrachej-pervichnogo-zvena-programmi-ministerstvo-zdravoohraneniya-respubliki-mordoviya.html